Potenz- und Polynomfunktionen
Veröffentlicht von MSc. Claudia Degrassi in Funktionen · Mittwoch 11 Dez 2024 · 5:45
Thema: Potenz- und Polynomfunktionen
Was ist eine Potenz?
Eine Potenz ist ein Produkt von mehreren gleichen Faktoren. Die Hochzahl gibt dabei an, wie oft die Basis multipliziert wird.
Beachte: Die Hochzahl bzw. der Exponent darf auch negativ sein!
z.B. 43 = 4 ∙ 4∙ 4 = 64
Bei dieser Rechnungsart handelt es sich um das Potenzieren. Dabei gilt, dass immer vor allen anderen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) potenziert werden muss.
Die Rechenregeln für Potenzen
Potenzen werden bei den unterschiedlichen Berechnungen ebenfalls (wie andere Terme, Zahlen, …) miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert. Dafür gelten die folgenden Rechenregeln:
- Potenzen mit gleicher Basis und gleicher Hochzahl kann man addieren als auch subtrahieren, indem man die gleichen Potenzen zusammenfasst.
- Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Hochzahlen addiert!
- Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Hochzahlen subtrahiert!
Beachte: Potenzen mit negativer Hochzahl kann man auch als Bruch anschreiben bzw. die Hochzahl durch die Kehrwertbildung wieder „positiv machen“ und damit einen Vorzeichenwechsel bewirken. Das bedeutet konkret:
Ein Beispiel für die Anwendung von gemischten Rechenregeln (2 und 3) für Potenzen:
z.B.: d12 : d2 ∙ f3 ∙ f2 : d : f5 = d12-2-1 ∙ f3+2-5 = d9 ∙ f0 = d9 ∙ 1 = d9
!!! Beachte: x0 = 1
- Beim Potenzieren von Potenzen werden die Hochzahlen miteinander multipliziert.
z.B.: (g2)4 = g2∙4 = g8
Begründung: (g2)4 = g2 ∙ g2 ∙ g2 ∙ g2 = g2+2+2+2 = g8
Blick in die Formelsammlung zu den Rechenregeln der Potenzen:
Die Bedeutung der unterschiedlichen Schreibweisen mit Potenzen
Sobald bei Potenzen Klammerausdrücke vorkommen, ist es wichtig diese zu beachten und dementsprechend aufzulösen. Hier ein paar Beispiele, die zeigen sollen, dass die Position der Klammern unterschiedliche Auswirkungen auf die Berechnung mit Potenzen hat.
• (-2x)2 = (-2x) ∙ (-2x) = 4x2
• (-2x2) = -2x2
• (-x)3 = (-x) ∙ (-x) ∙ (-x) = -x3
• 5y ∙ (-4y)2 = 5y ∙ (-4y) ∙ (-4y) = 5y ∙ 16y2 = 80y3
• 5y ∙ (-4y2) = -20y3
!!! Merke: Immer die Stellen der Klammern beachten, es macht einen Unterschied, wo die Klammern gesetzt werden!
Potenzen und deren Vorzeichen
Beim Potenzieren muss auf das Vorzeichen geachtet werden. Das bedeutet:
(negative Basis)gerade Hochzahl = positives Ergebnis
(negative Basis)ungerade Hochzahl = negatives Ergebnis
(positive Basis)gerade Hochzahl = positives Ergebnis
(positive Basis)ungerade Hochzahl = positives Ergebnis
z.B.:
• (-3)4 = +81
• (-5)3 = -125
• (3)4 = +81
• (5)3 = +125
Binomische Formeln
Im Rahmen des Themas „Rechnen mit Potenzen“ tritt man auch in Berührung mit den binomischen Formeln. Man kann diese auswendig lernen, in der Formelsammlung nachschlagen oder einfach berechnen (lassen).
Die Berechnung einer binomischen Formel erfolgt grundsätzlich nach den bekannten Rechenregeln. Das bedeutet wie folgt:
(a + b)2 = (a + b) ∙ (a + b) = a2 + ab +ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Werden zwei Klammern miteinander ausmultipliziert, muss jeder Faktor mit jedem Faktor multipliziert werden.
Blick in die Formelsammlung zu den Binomischen Formeln:
Was sind Potenzen mit einem Bruch als Hochzahl?
Potenzen mit Brüchen in der Hochzahl kann man in einen Wurzelausdruck umwandeln. Die Umwandlung ist wie folgt möglich:
z.B.:
Diese Umwandlung kann auch dann angewandt werden, wenn die Hochzahl nicht restlos teilbar ist, wie im vorhin angegebenen Beispiel.
Wurzeln und deren Darstellung
Potenzen mit einem Bruch als Exponent (Hochzahl) kann als Wurzelausdruck dargestellt werden. Eine Wurzel besteht dabei immer aus einem Wurzelexponenten, dem Wurzelzeichen und einem Radikanden (= Wurzelbasis).
!!! Beachte: Der Radikand darf im Bereich der reellen Zahlenmenge niemals negativ sein!
Zusatzinfo: Der Ausdruck unter der Wurzel wird auch als Diskriminante bezeichnet.
Anwendungsbereich von sehr großen Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen
Man spricht hierbei von der Gleitkommadarstellung mithilfe von Zehnerpotenzen. Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Zahl 10 als Basis. Diese Darstellungsform ist eine gute Möglichkeit, um große Zahlen auch wissenschaftlich und übersichtlicher anzuschreiben. Das ist sehr hilfreich, wenn Ergebnisse beispielsweise lediglich geschätzt werden sollen.
Manche Bezeichnungen kennt man vielleicht aus dem alltäglichen Gebrauch, wie z.B. Kilogramm. Die Vorsilbe „kilo“ steht dabei für „tausend“, das in der Zehnerpotenzschreibweise als 103 angeschrieben wird.
Eine gute Übersicht über die verschiedenen Vorsilben und deren Zehnerpotenzen zeigt die Formelsammlung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung / Reife- und Diplomprüfung.
Blick in die Formelsammlung zu den Vorsilben zur Darstellung der Zehnerpotenzen:
Was ist eine Potenzfunktion?
Potenzfunktionen stellen die Basis vieler Funktionen dar. In einer Potenzfunktion ist die (unbekannte) Variable die Basis der Potenz, wie z.B. f(x) = 2x oder g(x) = -0,5x3. Ihre allgemeine Form lautet wie folgt:
Die Basis der Potenz ist somit die unbekannte Variable x (a und n sind bekannt und damit die Konstanten). Die Konstante „n“ gibt somit den Grad der Potenzfunktion an. Ist „n“ beispielsweise zwei, so handelt es sich um eine Funktion zweiten Grades, die auch als quadratische Funktion bezeichnet wird und grafisch gesehen eine (u-förmige) Parabel darstellt. Im Thema der linearen Funktionen finden Sie Informationen zur Potenzfunktion ersten Grades, wenn n=1 ist, die als Graf eine Gerade zeigt.
Beachte: Eine Potenzfunktion kann auch eine negative und gerade/ungerade Hochzahl (= Exponenten) besitzen. Dann spricht man von dem Grafen einer Hyperbel.
Jede Potenzfunktion ist somit durch bestimmte Charakteristika gekennzeichnet und unterliegt dementsprechend unterschiedlichen Gegebenheiten.
Wann spricht man von einer Polynomfunktion?
Aus dem Algebra-Blog-Teil ist bekannt, das man wie folgt Unterscheidungen trifft:
👉 Monom = eingliedriger Term, z.B. 7b
👉 Binom = zweigliedriger Term, z.B. 7b - 4
👉 Polynom = mehrgliedriger Term, z.B. 7b - 4 + 6c
Eine Polynomfunktion ist somit eine Funktion, die aus mehrgliedrigen Termen besteht und deren Basis eine Potenzfunktion darstellt,
wie z.B. f(x) = 2x + 5 oder g(x) = -0,5x3 + 4x2 - 2
Potenz- und Polynomfunktionen sollen oft im Rahmen von Textaufgaben aus gegebenen Daten aufgestellt werden. Die Kenntnis zu den Gleichungssystemen und wie diese gelöst werden können, ist in diesem Zusammenhang unersetzlich.
Beispiele für Potenz- und Polynomfunktionen
In der Abbildung (aus GeoGebra erstellt) erkennt man folgende Potenz- und Polynomfunktionen:
• f(x): rote Farbe, Funktion 6. Grades
• g(x): grüne Farbe, Funktion 4. Grades
• h(x): blaue Farbe, Funktion 3. Grades
Jede dieser Potenz- und Polynomfunktionen weist dabei besondere Eigenschaften auf, die Rückschlüsse auf beispielsweise die Hochzahl oder Symmetrie einer Funktion liefern. Ebenso besitzt jede Funktion eine bestimmte maximale Anzahl an Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen.
