Lineare Gleichung
Veröffentlicht von MSc. Claudia Degrassi in Gleichungen · Donnerstag 12 Dez 2024 · 3:15
Thema: Lineare Gleichung
Was ist eine lineare Gleichung?
Setzt man zwei Terme gleich, so entsteht eine Gleichung. Das charakteristische Merkmal der linearen Gleichung ist, dass die Unbekannte nur in erster Potenz vorkommt, also „hoch eins“, das im Normalfall nicht angeschrieben wird.
Beispiele:
s = v ∙ t oder (4x - 5) ∙ 3 = -5
37,40 = a ∙ 2 oder x = (5 - 2) ∙ 0,5
Die allgemeine Definition zur linearen Gleichung lautet:
a ∙ x + b = 0 a, b ∊ ℝ und a ≠ 0
Die Lösungen einer lineare Gleichung
Wird eine Gleichung gelöst, so gibt es drei verschiedene Lösungen.
1. Lösungsmöglichkeit:
Die Variable, die zu berechnen ist, erhält einen Wert.
z.B.: 37,40 = a ∙ 2
a = 18,7
Das bedeutet, die Gleichung hat eine Lösung und wir schreiben an: 𝕃 = { 18,7 }
2. Lösungsmöglichkeit
Beim Versuch zum Lösen der Gleichung, entsteht eine falsche Aussage.
z.B.: 3x + 3 = 3x + 8
0 = 5 f.A.
0 = 5 ist eine falsche Aussage ! Das bedeutet, dass es keine Lösung für die Variable „x“ gibt. Wir schreiben an: 𝕃 = { }
3. Lösungsmöglichkeit:
Beim Versuch zum Lösen der Gleichung, entsteht eine wahre Aussage.
z.B.: 3x + 3 = 3x + 3
0 = 0 w.A.
0 = 0 ist eine wahre Aussage! Das bedeutet, dass alle Zahlen für die Variable „x“ als Lösung eingesetzt werden dürfen. Wir schreiben an: 𝕃 = ℝ
Merke: Lineare Gleichungen haben eine, keine
oder unendliche viele Lösungen.
Bewegungsaufgaben
Hierbei geht es um Textaufgaben mit Bewegung von Fahrzeugen, Menschen oder Ähnlichem. Im ersten Schritt muss geklärt werden, ob sich die Bewegung aufeinander zubewegt oder die Fahrzeuge beispielsweise einander folgen. Diese zwei Möglichkeiten habe ich hier dargestellt:
1. Die beiden Fahrzeuge bewegen sich aufeinander zu. Dann ergibt die Summe der beiden Einzelstrecken bis zum Treffpunkt die gesamte Strecke s oder Entfernung zwischen beispielsweise zwei Orten.
z.B.: Zwei Radfahrer starten um 8 Uhr an den zwei verschiedenen Orten A und B, die voneinander 130 km entfernt sind. Der erste Radfahrer hat eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 20 km/h, der andere fährt mit 25 km/h. Die beiden Radfahrer starten genau ein den jeweils entgegengesetzten Orten. Wann treffen sich die beiden und wie weit sind sie von Ort A entfernt?
➔ Strecke von Radfahrer 1 + Strecke von Radfahrer 2 = Gesamtstrecke 130 km
z.B.: Zwei Radfahrer starten um 8 Uhr an den zwei verschiedenen Orten A und B, die voneinander 130 km entfernt sind. Der erste Radfahrer hat eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 20 km/h, der andere fährt mit 25 km/h. Die beiden Radfahrer starten genau ein den jeweils entgegengesetzten Orten. Wann treffen sich die beiden und wie weit sind sie von Ort A entfernt?
➔ Strecke von Radfahrer 1 + Strecke von Radfahrer 2 = Gesamtstrecke 130 km
2. Die beiden Fahrzeuge fahren hintereinander her, bis der eine den anderen eingeholt hat. Beispielsweise fährt der Radfahrer langsamer, startet früher und wird von einem Auto später eingeholt. In diesem Fall ist also zu beachten, ob die Fahrzeuge gleichzeitig oder zu verschiedenen Zeiten starten. Die Strecke, die beide Fahrzeuge zurücklegen ist jedoch gleich!
z.B.: Ein Inlineskater startet um 8:30 Uhr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 15 km/h. Aufgrund einer Wette startet die Freundin mit dem Fahrrad und einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 20 km/h zwei Stunden später vom gleichen Ort. Wann holt wird der Inlineskater eingeholt?
➔ Strecke vom Inlineskater = Strecke von Radfahrerin
z.B.: Ein Inlineskater startet um 8:30 Uhr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 15 km/h. Aufgrund einer Wette startet die Freundin mit dem Fahrrad und einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 20 km/h zwei Stunden später vom gleichen Ort. Wann holt wird der Inlineskater eingeholt?
➔ Strecke vom Inlineskater = Strecke von Radfahrerin
Bei den Bewegungsaufgaben arbeitet man stets mit der Formel: s = v ∙ t
[s = Weg/Strecke, v = Geschwindigkeit, t = Zeit]
Bei Bewegungsaufgaben bleibt die (durchschnittliche) Geschwindigkeit stets konstant. Man kann die Formel der Bewegungsaufgaben daher auch mit der linearen Funktion vergleichen, in der an der Position von „v“ die Steigung „k“ ersetzt wird, die ebenso in der linearen Funktion konstant ist.
