• Natürliche Zahlen: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Hinweis: Manchmal wird die Null aus der Zahlenmenge der natürlichen Zahlen ausgeschlossen. ℕ* = {1, 2, 3, 4, … }

• Ganze Zahlen: ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

• Rationale Zahlen: ℚ = {-½; ⅓ ; 0,666…; 2,25; …}

Hinweis: Rationale Zahlen kann man als Bruch schreiben und sind periodische oder endliche Dezimalzahlen.

• Irrationale Zahlen: 𝕀 = {√2; 𝒆; π, …}

Hinweis: Irrationale Zahlen sind unendliche nicht periodische Dezimalzahlen.

• Reelle Zahlen: ℝ = ℚ ⋃ 𝕀

Hinweis: Die reellen Zahlen bestehen aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen.

• Komplexe Zahlen: ℂ

Hinweis: Die komplexen Zahlen beinhalten nicht nur alle reellen Zahlen, sondern auch die imaginären Zahlen. z.B.: -i

• Variable: Eine Variable ist eine Unbekannte. Traditionell gesehen verwenden wir in der Mathematik meist Kleinbuchstaben, die als Platzhalter für beispielsweise eine Zahl dienen kann oder einen mathematischen Ausdruck wie einen Term. z.B.: a, b, x, y, …

• Term: Ein Term steht für einen sinnvollen mathematischen Ausdruck, der mit Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern verbunden werden kann. z.B.: 2a + b Achtung: Wird der Term zur Probe beispielsweise in eine Gleichung eingesetzt, so muss dieser Term oft in eine Klammer gesetzt werden! Man unterscheidet:

👉 Monom = eingliedriger Term, z.B. 7b

👉 Binom = zweigliedriger Term, z.B. 7b - 4

👉 Polynom = mehrgliedriger Term, z.B. 7b - 4 + 6c

Sobald man beispielsweise mit einer Flächenformel rechnet, handelt es sich hierbei um ein Rechnen mit Termen. Terme können mit den vier Grundrechnungsarten verbunden werden, aber man kann auch gemeinsame Faktoren herausheben.

• Gleichung: Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage. Dabei werden zwei Terme gleichgesetzt. z.B.: 5 = a·b     oder    3 = 5x + 2

• Gleichungssystem: Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren/verschiedenen Gleichungen und Variablen.

• Ungleichung: Der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Ungleichung liegt an der Verwendung eines Relationszeichens. Eine Gleichung wird mit einem „=“ verbunden, eine Ungleichung hingegen mit einem der folgenden Relationszeichen: < („kleiner als“), > („größer als“), ≤ („kleiner oder gleich“), ≥ („größer oder gleich“)
z.B.: 3x ≥ 6 ➔ x ≥ 2 ➔ alle Zahlen die 2 oder größer als 2 sind, sorgen für eine wahre Aussage der Ungleichung. Probe für x = 5:    3∙5 ≥ 6     ➔ 15 ≥ 6   w.A.
Achtung! Bei Multiplikation oder Division durch eine negative Zahl ändert sich das Relationszeichen! z.B.: (-3)x ≥ 6 ➔ x ≤ -2 ➔ alle Zahlen die -2 oder kleiner als -2 sind, sorgen für eine wahre Aussage der Ungleichung. Probe für x = -4:    (-3)∙(-4) ≥ 6     ➔ 12 ≥ 6   w.A.

• Äquivalenz: Spricht man von einer Äquivalenz, so meint man die Gleichwertigkeit mehrerer mathematischer Aussagen. Werden z.B. beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl addiert, so sprechen wir in der Mathematik von einer Äquivalenzumformung.Beispielsweise ist die Gleichung 2x = 5 äquivalent mit der Gleichung 4x = 10, da für die zweite Darstellung die erste Gleichung mit der Zahl 2 multipliziert wurde.

• Grundmenge 𝔾: Die Grundmenge bestimmte alle Ausdrücke (z.B. Zahlen), die grundsätzlich für die vorhandenen Variablen eingesetzt werden können. z.B.: 𝔾 = ℝ

• Definitionsmenge 𝔻: Die Definitionsmenge bestimmt jene Werte und Zahlen, für die eine Variable eingesetzt werden darf! Das bedeutet, die Definitionsmenge muss nicht deckungsgleich mit der Grundmenge sein. z.B. Die Grundmenge kann als 𝔾 = ℝ bestimmt werden, das bedeutet die Grundmenge 𝔾 beinhaltet alle reelle Zahlen, die Zahl Null ist ebenso eingeschlossen, aber bei einem Bruch der 1/x lautet darf für „x“ keine Null eingesetzt werden, da die Division durch Null unmöglich ist (es können nicht 10 Zuckerl auf 0 Kinder aufgeteilt werden). Eine Definitionsmenge muss also sinnvoll sein.z.B.: 𝔻 = ℝ \ { 0 } —> Man darf alle reellen Zahlen in die Gleichung oder Ungleichung einsetzen ohne (= backslash) der Zahl Null.

•  Lösungsmenge 𝕃: Die Lösungsmenge enthält jene Zahlen aus der Grund- bzw. Definitionsmenge, die beim Einsetzen in die Gleichung oder Ungleichung eine Aussage ergeben. Es können auch mehrere oder gar keine Zahlen in der Lösungsmenge enthalten sein. Es gibt 3 Fälle: z.B.

1. x²= 9     𝕃 = {-3, 3}, weil (-3) ² als auch 3² ergeben 9

2. Erhält man am Ende der Gleichung 2 = 2 so ist dies eine wahre Aussage und die Lösungsmenge ist 𝕃 = ℝ (oder welche Grundmenge zugrunde liegt)

3. Erhält man am Ende der Gleichung 0 = 2 so ist dies eine falsche Aussage und die Lösungsmenge ist leer —> 𝕃 = { }

All diese 3 Fälle können auch grafisch dargestellt und erklärt werden!

1. Die beiden Fahrzeuge bewegen sich aufeinander zu. Dann ergibt die Summe der beiden Einzelstrecken bis zum Treffpunkt die gesamte Strecke s oder Entfernung zwischen beispielsweise zwei Orten.
z.B.: Zwei Radfahrer starten um 8 Uhr an den zwei verschiedenen Orten A und B, die voneinander 130 km entfernt sind. Der erste Radfahrer hat eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 20 km/h, der andere fährt mit 25 km/h. Die beiden Radfahrer starten genau ein den jeweils entgegengesetzten Orten. Wann treffen sich die beiden und wie weit sind sie von Ort A entfernt?
➔ Strecke von Radfahrer 1 + Strecke von Radfahrer 2 = Gesamtstrecke 130 km

2. Die beiden Fahrzeuge fahren hintereinander her, bis der eine den anderen eingeholt hat. Beispielsweise fährt der Radfahrer langsamer, startet früher und wird von einem Auto später eingeholt. In diesem Fall ist also zu beachten, ob die Fahrzeuge gleichzeitig oder zu verschiedenen Zeiten starten. Die Strecke, die beide Fahrzeuge zurücklegen ist jedoch gleich!
z.B.: Ein Inlineskater startet um 8:30 Uhr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 15 km/h. Aufgrund einer Wette startet die Freundin mit dem Fahrrad und einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 20 km/h zwei Stunden später vom gleichen Ort. Wann holt wird der Inlineskater eingeholt?
➔ Strecke vom Inlineskater = Strecke von Radfahrerin

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung zweier Größen. Der Wert der einen Größe (z.B. x) wird genau einem Wert der zweiten Größe (z.B. y) zugeordnet. Die erste Größe ist dabei die unabhängige Größe und stellt in der Regel das „x“ dar (entspricht im Koordinatensystem der x-Achse), die zweite Größe ist die abhängige Größe von „x“ und stellt in der Regel das „y“ dar (entspricht im Koordinatensystem der y-Achse), das daher

auch für den Ausdruck „f(x) = y“ steht. Das „y“ ist abhängig von „x“ —> daher f(x) (man spricht: f „von“ x)

• Die Menge aller Zahlen, die man für die unabhängigen Variablen einsetzen darf, nennt man Definitionsmenge 𝔻.

• Die Menge aller zahlen, die man für die abhängigen Variablen einsetzen darf, nennt man Wertemenge 𝕎.

• Die unabhängige Variable x wird auch als Stelle oder Argument bezeichnet.

• Die abhängige Variable f(x) wird auch als Funktionswert bezeichnet.

„g“ ist ein Funktionsgraph.

„h“ ist kein Funktionsgraph, weil es x-Werte gibt, denen zwei y-Werte zugewiesen werden können. Damit handelt es sich um keine eindeutige Zuordnung mehr.